ラプラス変換
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ラプラス変換について，極初歩的な事項を要約しておく．

§ラプラス変換対：定義式

t > 0で定義された関数y( t )に関する次の積分変換対をラプラス変換対と定義，
　
　
また，これらを次のようにも記する．
　

○定義より
　
p = g + i2pf ，dp = i2pdf ，f = -∞~∞と変数変換し式(a)右辺の積分を実行すれば
　
ここで，式(c) I(x) は次のよう．
　　
すなわちI(x)はデルタ関数である．したがって，式(b)は
　　
すなわち，g(t) は元の関数 y(t)と同じであるとみなせる．

§ラプラス変換の性質

　�@線形性

　�A時間軸移動
　

　�B時間軸拡大
　
すなわち，t に関するラプラス変換に1 / a をかけp をp / a と置いたものは t = t / a に関するラプラス変換に等しい

　�C畳込み
　

　�D初期値，最終値
　

　�E微分
　

　�F積分
　

　�G周期関数 f が周期 T の周期関数，すなわち f ( t+T ) = f ( t ) のとき
　

�@線形性
　　

�A時間軸移動
　
t - a = t と変数変換すれば
　
また，
　

�B時間軸拡大公式
　
の意味は次のようである．y のt に関するラプラス変換は，
　
したがって，ap = s とおけば
　
すなわち，tに関するラプラス変換に1 / a をかけp をp / a と置いたものは t = t / a に関するラプラス変換に等しい

�C畳込み
　　
　　積分の順序を入れ換えれば
　　
　　{ } 内の積分を，x = t - t と変数変換し x < 0では y( x ) = 0である事に注意すれば
　　
なお，
　　
において， t - t = x と変数変換すれば，
　　

�D初期値，最終値
　　
　　

�E微分
　
　
以下同様に
　

�F積分
　
以下同様にして
　

�G周期関数
　

§簡単な関数のラプラス変換

　○ステップ関数
　　　
　○デルタ関数
　　　
　○べき
　　　
　○三角関数
　　

○ステップ関数
　　

○デルタ関数
　　
注）d(0) はd( +0 )と解釈する

○べき
　　
そして，
　　
であるから，積分の公式より
　　
n = N + 1とおけば
　　

○三角関数
　　
すなわち
　　
したがって，
　　
また，
　　
であるから
　　

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