２次元のベクトル・テンソル

（注意：元に戻るとき，ブラウザの戻るボタンを使わないように）

　　§２次元ベクトルの座標変換

　　

　上図のように座標系{x，y，z：e_x ，e_y ，e_z}がz軸の回りにq 回転した座標系を{x'，y'，z'：e'_x ，e'_y ，e'_z}とする．ここで，q は右ねじがz方向に進む回転方向，すなわち図では反時計回り，を正とする．そうすれば，それぞれの座標系の基底ベクトルの関係は，図より，
　　
　　逆に
　　
となる．

　したがって，これらの内積は
　　
　　

　そして，ベクトルの成分の座標変換公式は，V'_i=g_ikV_k であるから，
　　

§二次元二階対称テンソルの成分の座標変換公式

　　二次元２階対称テンソルは次式のように書ける．
　　
マトリクス形では
　　

　テンソルの座標変換公式は，T '_ij =g_ik g_jlT_kl であるから，対称性を考慮して，次のようになる
　　
　半角の公式を適用すれば
　　
　同様に
　　
　そして，
　　

　　以上，まとめて再記すれば，
　　
なお，T '_yy の変換式はT '_xx の変換式において，qをq+p/2と置き換えたものに等しい．これは，x軸をq回転させるとx' 軸になり，さらにp/2回転させるとy' 軸となるからである．

§平面応力テンソル・ひずみテンソルの固有値

　　T_zx=0，T_zy=0，T_zz=0 ，T_xy=T_yx
のとき，不変量は
　　
となるから，固有方程式は
　
したがって，固有値は
　
そして，主軸は次式より得られる．
　
これの解は次のようである．
l₃に対しては
　　l₃=0を上式に代入して
　　
　　これを満足する解はp_x=0，p_y=0，p_z=1である．
　　
l₁に対しては
　　
　　l₁≠0であるからp_z=0でなけらばならない．そして，p_x ，p_yは
　　
　　の解である．
　　
　　とおけば上式は
　　
　　となり，これの第１行より，p_y ，p_x の比は
　　
　　となり，これを満たす解はp_x=cosq₁ ，p_y=sinq₁ である．
　　
同様にl₂に対する解は
　　p_z=0
　　そして，
　　
　　したがって，
　　
　　
すなわち，{p₁，p₂，p₃}は{e₁，e₂，e₃}をz軸の回り反時計方向にq₁ 回転した座標系である．

§主せん断応力

　座標系{x'，y'，z }におけるx' 面y' 方向のせん断応力は，応力成分の座標変換公式より
　　
これが極値となる回転角b は
　　
で与えられるから，
　　
である．
一方，主応力軸となる回転角a は次式で与えられた．
　　
したがって，
　　
となり，2a と2bは直交する．
そこで，q=a-p/4におけるせん断応力をt₃ とすれば，
　　
また，
　　
であったから，t₃ は
　　
とも書ける．

t₃ は，下図(a)に示すように，z軸に平行な断面すなわち板の横断面に生ずるせん断応力であり，横断面上ではz方向のせん断応力は0である(せん断応力の共役性)．

しかしながら，同図(b)，(c)に示すようにz軸に平行でない断面すなわち板の斜め断面には，z方向成分を有するせん断応力が生ずる．これらのせん断応力の極値は，t₃ の場合と同様に主応力差の1/2となるから，z軸をx₃軸と読み替えて
　　
である．なお，このよう整理すれば，前出のt₃は，
　　
と書ける．
以上，まとめれば，平面応力状態での主せん断応力は
　　

戻　る