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○ベクトルの内積　
ベクトル a , b の内積を次の関係を満たすスカラーと定義し，( a･b ) あるいは a･b と書く．
　( a･b ) = ( b･a ) ，( aa + bb･c ) = a( a･c ) + b( b･c )
　　a² = ( a･a ) ≧ 0　等号は a = 0 のとき
　　ここで，a , b ：スカラー， c ：ベクトル
　　これまでに習ったベクトルの内積すなわち
　　　　( a･b ) = |a| |b| cos q ここで q は a と b の成す角度
　　　　成分表示では
　　　　
　　は上の定義を満たすことは明らかである．

　内積の定義より，次の関係（コーシーシュワルツの不等式）が成立することがわかる．
　　
　　成分で表せば
　　

　　注）a²_i 等は a_i a_i を意味する．すなわち，添え字 i が２度現れるので
　　　　a²_i = a_i a_i = ( a_x )² + ( a_y )² + ( a_z )²　

∵定義より
　
同様に
　
すなわち，
　
なお，この議論によれば，が成立するから，逆に
　
となる j が存在する．そこでこれをベクトル a と b の成す角度，ベクトルの大きさをと定義すれば，
内積は　( a･b ) = |a| |b| cos q と計算出来ることになる．
このように考えれば，目に見えるベクトル以外でも内績，大きさ，角度等の定義が出来ることになる．

○テンソル積の内積，テンソルの内積　
二つのテンソル積 aÄb , cÄdについて次のスカラーを得る演算を考える．
　　
　テンソル積の定義より，この演算は，ベクトルの内積の性質
　　　^*)
　　
　　
　を満たす．
これを，テンソルに適用すれば，e_i･e_j = d_{i j} に注意して
　　
　
　　
　したがって，ベクトルの場合と同様に考えれば
　　
　が成立するから，
　　　
　とおけ，テンソルの大きさを |T|，二つのテンソル，T , U の成す角度を上式の j で定義出来ることになる．
　T , U が対称テンソルならば
　　　
　成分で表せば，対称非対称によらず，
　　　

*) XÄY = (aaÄb + bcÄd ) と置き，f の変換を求めれば，X(Y･f ) = aa(b･f ) + bc(d･f )
これの両辺について e との内積をとれば　(X･e)(Y･f ) = a(a･e)(b･f ) + b(c･e)(d･f )
すなわち，(XÄY)･(f Äe) = a(aÄb)･(f Äe) + b(cÄd )･(f Äe) となるから
(aaÄb + bcÄd )･(f Äe) = a(aÄb)･(f Äe) + b(cÄd )･(f Äe) が成立する．

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