応力，ひずみがテンソルであることの証明
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応力成分，ひずみ成分の座標変換がテンソルの成分の座標変換公式に一致することを示す．
応力成分の座標変換
図のように，三面が座標系{x，y，z}の座標面に一致した微小四面体OABCについて力の釣合いを考える．
３つの座標面，OBC，OAC，OABに働く応力の合力は，応力成分の定義より，座標系{x，y，z}での応力成分sij を用いて，
ここで，Sx
，Sy ，Sz はそれぞれ，OBC，OAC，OABの面積である．
さて，ABC面に垂直にx' 軸，それと直交右手系を成すように新しい座標系{x'，y'，z'}を取り，この座標系における応力成分をs'ij とする．そうすると，ABC面上の応力の合力は，応力成分の定義より，ABCの面積をSとして
である．この両者が釣り合うから，次式を得る．
ここで，ABCのx面（x軸に垂直な面）への投影がOBCであり，同様にy面およびz面への投影がそれぞれOAC，OABであるから，これらの面積について次式が成立する．
したがって，力の釣り合い式は，次のようになる．
上式の右辺は
と変形できるから，結局，次式が成立しなければならない．
これが任意の座標系について成立するためには，
以上は，ABCに垂直にx' 軸を取った結果であるが，これと直角にy' 軸，z' 軸をとった場合を考えれば，同様にして
を得る．したがって，これらをまとめれば
となり，これはテンソルの成分の座標変換公式に他ならない．よってsij はテンソルの成分である．
以上では，応力成分の座標変換公式がテンソルの成分の座標変換公式と一致する事をを力学的考察から導き，応力はテンソルである事を証明した．しかしながら，テンソル論本来の定義によれば，単に
「外向き単位法線ベクトル」を「その面に生じている応力ベクトル」
に変換する演算を応力sと定義する
とすれば，応力sはテンソルであることが次のように証明できる．
単位法線ベクトルがnである仮想断面に生じる応力ベクトルPを与える演算をs( n )とする．すなわち
と表せるとする．ここで，s( n )の具体的演算がどのようであるかはこの段階では未定である．
微小四面体を考え各面に生じている応力ベクトルをP1 ，P2 ，P3 およびP4 それらの面の外向き法線ベクトルをn1 ，n2 ，n3 およびn4 ，面積をA1 ，A2 ，A3 およびA4 とする．そうすれば，力の釣合より
である．すなわち，sは性質[b]を満たさねばならない．
一方，幾何学によれば，4つの単位外向き法線ベクトルの間には次の関係がある．
この関係を[b]に代入すれば，演算s( )は次の関係を満たさねばならない．
a1〜a3 はスカラーであるから，式[c]は演算s( )はベクトルからベクトルを作る線形演算である事を示している．すなわち，s( )はテンソルである．これを単にs
と表す．そして，テンソルの成分の定義から，s の成分si
j はj面に作用するi方向の応力であることがわかり，モーメントの釣合よりこれは対称テンソルであることがわかる．また，当然ながらその座標変換公式はテンソルの成分の座標変換公式から得られる．
ひずみ成分の座標変換
先ず，偏導関数の座標変換公式を求める．以下では，座標系{x，y，z}に関する添え字あるいは指標としてi，j，k，l，m を，座標系{x'，y'，z'}に関する添え字あるいは指標として i'，j'，k'，l'，m' を用い，座標については
また，偏導関数は
を意味するものとする．
座標位置はベクトルであるので，座標の変換則は
そして，
したがって，偏導関数の変換則は
定義より座標系{x'，y'，z'}におけるひずみ成分は
右辺は
すなわち
となり，テンソルの座標変換公式に一致する．よってeij はテンソルの成分である．