三角関数の定積分値
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　sin q ，cos q の0から p / 2 までの定積分すなわち面積は
　　
である．そして，cos q はsin q を p / 2 平行移動したものでありかつ周期関数である．この性質を理解すれば角度0から，np/2：nは整数，の定積分値が簡単にわかる．

図１ sinq , cosq の0から p / 2 までの定積分すなわち面積はともに 1 である．
そして，図の合同性より p / 2 ~ p , p ~ 3p / 2 , ･･･ の区間長 p / 2の各区間の値が図のように1あるいは - 1である事が直ちにわかる．
　　
　　　　　　　図１　Sin q　，cos q

図２ sin²q , cos²q はともに正であり，sin²q + cos²q = 1 が成立するからこれらの0から p / 2 までの面積すなわち定積分はともに ( 1×( p / 2 ) ) / 2 = p / 4 であることが直ちにわかる．
そして，図の合同性より p / 2 ~ p , p ~ 3p / 2 , ･･･ の区間長 p / 2 の各区間の値が下図のように全てp / 4 である．
　
　　　　　　　　図２　( Sin q )²　，( cos q )²

図３ 次に，sin2q , cos2q はsinq , cosq の横軸を1/2に縮めたものであるから，0から p / 4 までの面積すなわち定積分が1/2である．そして，図の合同性より p / 4 ~ p / 2 , p / 2 ~ 3p / 4 , ･･･ の区間長 p / 4 の各区間の値が図３のように1/2 あるいは -1/2である事が直ちにわかる．

　　　　　　図３　Sin 2q　，cos 2q

図４ sin²2q , cos²2q についても同様に，これらはsin²q , cos²q の横軸を1/2に縮めたものであるから0~p / 4 , p / 4 ~ p / 2 , p / 2 ~ 3p / 4 , ･･･ の区間長 p / 4 の各区間の値が下図のように全て( p / 4 ) /2 = p / 8
　　
　　　　　図４( Sin 2q )²　，( cos 2q )²

なお，念のために計算すれば，以下のよう
　　

また，縦軸の値が1のラインを基準とすれば，関数はそれぞれ，図５の赤字で示したものとなる．

　　図５．1 - sin q ，1 - cos q 等
したがって，次の関係も面積から直ちに求まる．
　　
　　
　　
　　

注）sin²q のグラフについて見れば，1 - sin² q = cos² q でありかつsin q とcos q の相似性を考慮すれば，例えば，q が0からp / 2 の範囲ではsin²q のラインは，この間の高さ1長さ p / 2 の長方形面積を2等分する．したがって，sin²q のラインが囲む面積は p / 4 であることが分かる．

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