応力成分，せん断応力の共役生
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Ⅰ微小直方体に作用する垂直応力
せん断応力の共役性を説明する前に，物体内の微小直方体に作用する応力について考える．
上図のような横断面積Aの板を力Pで引っ張れば，
1) x軸に垂直な仮想断面aには垂直応力 s = P / Aが生じる．
2)これを更に，aから微小距離 Dx 離れた仮想断面bで切断すれば，力の釣合より
仮想断面bにも垂直応力s = P / Aが生じる事がわかる．
3)4)次に，これをy軸（y軸はx軸に垂直とする）に垂直な断面c，dで仮想切断し，y軸方向の力の釣合の釣合を考える．
今の場合，y軸方向に外力は加わっていないから，仮想断面c,d上の垂直応力は0である．
5)結局，x方向に引っ張られる板を，x , yそれぞれの軸に垂直な面で仮想切断し，微小部分を切り出せば，この微小部のx軸に垂直な仮想断面（これをx断面と呼ぶ）には，空間に対しては逆方向を向いた同じ大きさの一対の垂直応力（x面に働くx方向の応力）が発生する．
以上 x軸方向について考えたが，y軸およびz軸についても同様に一対の垂直応力が発生することが判るであろう．
○したがって，三次元状態では，x ,
y , z座標軸に垂直な面を持つ微小直方体の各面（x ,
y , z面）には，下図のように垂直応力
sx , sy , sz が発生し，力の釣合が保たれることがわかる．
Ⅱ微小直方体に作用するせん断応力，せん断応力の共役性
次に，せん断力が作用する下図の板について同じように仮想切断を繰返し微小部分を切り出し，力の釣合を考えると，
5)図のように，y軸方向の力の釣合を満たすために，
対抗するx面には大きさが同じで空間に対する向きが逆のせん断応力が
が発生することになる．
しかしながら，これらのせん断応力の作用線は距離Δx離れているので，板の厚さを１とすれば，
板に垂直なz軸回りのモーメントM = (t･Dy･1)･Dxが発生し，このままではこの微小体は回転してしまう．
6)この回転を止めるため，y面には図のようなせん断力t' が発生する．そして，
横方向の力の釣合を満たすために，c面とd面のせん断応力は大きさが同じで空間に対する向きが逆である．
また，t' によるモーメントはM ' = ( t'･Dx･1)･Dyであり，これがtによるモーメントと釣り合うことから，
すなわち，tとt' は同じ大きさであることがわかる．
要するに，ある仮想断面にせん断応力が発生しているならば，それと直交する断面にも同じ大きさのせん断応力が発生する．これをせん断応力の共役性と呼ぶ．
○x－z面，y－z面についても同様なことが言えるから，結局x ,
y , z座標軸に垂直な面を持つ微小直方体の各面には，下図のようなせん断応力が発生し，力の釣合が保たれる．
○せん断応力の共役性より，次のことがわかる．
仮想断面の境界上では，せん断応力は，境界の接線方向を向かねばならない．
上図のように，仮想断面の境界上から微小直方体，abcdefghを切り出せば，abfe面は仮想断面上にあり，adheは物体の側面上にある．
もしも，abfe面に境界aeに垂直な方向のせん断応力 t が生じたとすれば，共役性より，adhe面上には t ' が生じ t =t ' が成立する．しかしながら，adhe面は物体の側面であり，この面にはなんら力が作用していないから，t ' =0でなければならない．したがって，t も0であり，境界，aeに垂直な方向のせん断応力は0である．
なお，図の微小長方形opqrstuvのように，t が境界soに平行，すなわち境界の接線方向ならば，これに共役なせん断応力は，物体内の断面opqr上に生じ，これは常に0である必要はないから， tは値を持ち得る．
例えば，図右のように，長方形断面上の長手方向（y方向）せん断力がFであったとすれば，これによるせん断応力
t は長方形の上下辺y = lおよびy = -lで0でなければならず，図のようにy方向に分布した形となる．そして，この分布の積分の平均がF /
Aである．このとき，t の最大値がF / Aよりも大きいことは明らかであるから，設計に際しては気を付ける必要がある．
Ⅲ．応力成分（応力テンソル）
以上のように，物体内の任意位置において，座標軸に垂直な面をもつ微小直方体を切り出せば，この直方体の各面には９つの応力が生ずることになる．そして，これらは，一般的には
s i j ここで，添え字 i ，j はx，yあるいはzである．
と書ける．ここで，最初の添え字iは応力の作用面を表しており，2番目の添え字jはその作用方向を示す．これを{x，y，z}座標系での応力成分と呼ぶ．
例えば，
i = x，j =
xとすれば s xxはx面に作用するx方向の応力を意味し
x方向はx面に垂直な方向であるから，これは垂直応力である
ことがわかる．
また，x面すなわちx軸に垂直な面は，その外向き法線ベクトルがx >
0方向となるものすなわち+x面と，x<0方向となるものすなわち-x面の2つ存在する．これらを最初の添え字iの正負で指示することにし，2つの添え字の積が正となるように，2番目の添え字にも負号を付けることにすれば，+x面のsxxはx > 0方向，-x面のsxx はx <
0の方向を向くことがわかる．
また，
i = x，j =
yの場合は sxyはx面に作用するy方向の応力を意味し
y方向はx面に平行な方向であるから，これはせん断応力である
ことがわかる．
そして，sx yの作用方向は+x面では（第2添え字も正であるから）x > 0方向，-x面では（第2添え字は負とするから）x < 0方向であり，図のように作用する．
ことがわかる．
なお，２つの添え字が等しいとき第2添え字を省略して，単にsx，sy，sz ，２つの添え字が異なるときは，せん断応力であるので s の代わりに t を用いてtxy , txz , tyz
と書く場合が多い．
以上のように，応力の作用面と作用方向の組合せにより，応力成分は９つ定義されるが，せん断応力の共役性により，si j = sj i が成立する．すなわち，２つの添え字を入れ換えたものは互いに等しく，値が異なる応力成分は高々６つである．この６つの成分が判れば，応力状態が完全にわかったことになる．
一般に，３次元空間において，９つの成分であらわせる量T=（ Tj i ）が線形演算に従うときTはテンソル，Tj i はTの{x，y，z}座標系での成分と呼び，特にTj i =Tj i ならば対称テンソル，という．上のように［各座標軸に垂直な面に作用する座標軸方向の単位面積あたりの力］sj iを成分と定義した量s=（sj i ）は，テンソルであり，せん断応力の共役性より，対称テンソルである（組合せ応力→テンソル参照）．