曲げモーメントとせん断力の解の対称性

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長さlの左右対称なはりにおいて，x<l/2におけるせん断力および，曲げモーメントの解を
　　
とすれば，x>l/2における解は，xをl-x，とおきかえ，せん断力については負号を逆にした
　　
となる．

�@図のように左右対称な問題があるとき，左端Aからx（x<l/2）でのせん断力，曲げモーメントの解
　
　注）対称性より，中央に集中荷重がある場合を除き，F₁(l/2)=0とならねばならない．
が得られたとする．ただし，せん断力及び曲げモーメントの作用方向は図の方向である．

　　

　　

�Aこの問題を下図のように左右逆にして解き，B点からx（x<l/2）での解を求めることにすれば，
対称性より解は�@において単にxをxと置き換えたものになる．
　　

　　
　

�Bこれを，F '，M 'も含めて左右反転させれば(対称性には無関係に)下図右のようになる．ここで，
　
である．

　　　　

�C求めるべき解はA点からの位置がxでせん断力，曲げモーメントの作用方向が下図となる解である．

　　

　これは，�Bにおいてせん断力の符号を逆にし，x=l-xとおいたものであるから，
　
と表せる．
　　

注）�Bの反転は対称性とは無関係であるが，この場合元のx,y,z座標系に対して曲げモーメントの作用方向と仮想断面の向きも反転される．せん断力の作用方向はz軸方向であるので反転後も向きは変わらない．

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