応力−ひずみ関係，ひずみエネルギ
§弾性体の応力ひずみ関係(フックの法則)
材料力学では，完全弾性体を取り扱うので，応力ひずみ関係は次のようになる，これをフックの法則と呼ぶ．
○ 
：垂直応力 
：垂直ひずみ
：ヤング率
○ 
：せん断応力 
：せん断ひずみ
：横弾性係数
○ヤング率，横弾性係数，ポアッソン比の関係
ただし，垂直応力は一方向のみに作用する場合である．
主な材料のヤング率と横弾性係数は次のようである．
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E |
|
G |
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GPa |
|
GPa |
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鋼 |
206 |
21,000 |
80.36 |
8,200 |
0.30 |
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銅 |
123 |
12,500 |
46.0 |
4,700 |
0.33 |
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ｱﾙﾐﾆｭｰﾑ |
68.6 |
7,000 |
26.5 |
2,700 |
0.33 |
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注）1[GPa]=1×103[MPa]= 1[GPa]=1×109[Pa] |
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§材料力学における解法の手順
材料力学における解法の手順
物体に作用する力（外力）と応力，ひずみ，そして物体の変形（変位）との関係は上図のようになる．
上図では，外力と変形が直接対応していないことに注意されたい．すなわち，
がそれぞれ対応している．例えば物体に作用する力を与えて変形量を知るためには，
ことになり，逆に変形量から作用荷重を求める場合は
なお，問題によっては，このような一方向の手順では解が得られない場合もある．
例題
直径20 mm，長さ1 mの鋼製丸棒を10 knの力で引っ張るときの棒の伸びを求めよ．
解答
荷重をP，この棒の断面積をA，長さをl，応力ひずみをs，e，ヤング率をE，伸びをlとすれば，
となるから，これに与えられた数値
を代入すれば，棒の伸びは
すなわち，棒の伸びは，0.159
mmである．
なお，この棒は，ばね定数がKのばねと等価であり，ばね定数は
となる事がわかる．
§ひずみエネルギ
棒を引っ張れば，図のような応力−ひずみ曲線が得られる．このとき，荷重Pのなす仕事すなわち棒に与えられたエネルギーは，棒の伸びをlとして
で与えられ，図のB点まで荷重を加えた場合，これは，図の曲線OABDOで囲まれた部分の面積に等しい．
B点から除荷すれば，除荷は直線BCに沿い，OCは永久変形（塑性ひずみ）として棒に残り，CDは回復される．したがって，図の三角形CBDのエネルギーも回復され，これを弾性ひずみエネルギーと呼ぶ．すなわち，棒は弾性ひずみエネルギーを解放することによってもとの形に戻るとも言える．なお，残りのひずみエネルギーすなわち図のOABCOの面積は，主に熱となって棒の内部で消費される．
ところで，荷重と応力の関係P=As，伸びとひずみの関係 l=le を上式に代入すれば
となり，uは棒中の単位体積当たりのひずみエネルギーである．そして，単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー（図の三角形CBDの部分）は
である．すなわち，応力が s のとき，棒には上式で与えられる単位体積あたりの弾性ひずみエネルギーが蓄えられることになる．そして，弾性変形の場合は，塑性分はないから，単位体積あたりのひずみエネルギーと応力あるいはひずみの関係は
上式は，引張りを例にして導いたが，この関係は荷重の形式にはよらず常に成立する．以上まとめれば次のよう．
○弾性体の垂直応力がs（垂直ひずみe=s/E）であれば，そこには単位体積当たり
のひずみエネルギーが蓄えられる．
○また，せん断応力がt（せん断ひずみg=t/G）であれば，これによる単位体積当たりのひずみエネルギーは
である．
なお，sとtが同時に生じていれば単位体積当たりのひずみエネルギーはこれらの和である．