軸力と垂直応力の関係式
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　仮想断面に働く軸力Nは断面に垂直であるから，これに対応する応力も断面に垂直なもののみ考えれば十分である．これをs としよう

　一般には，s の値は断面上の位置によって変化しており断面の位置に関する関数であり，その合力がNとなっているはずである．この合力は次のようにして計算できる．

断面を上図右のように小さな区画に区分し，
　　i番目の区画の面積をDA_i
　　i番目の区画上の任意点の応力を s_i とする
区画は小さいのでこの上では s は一定値であると見なせるから，この区画上の応力による力は
　　DN_i = s_i･DA_i 　(a)
である．これを全区画について足し合わせれば応力の合力の近似値となるから，
　　

となる．ここで，mは区画の総数である．

そして，m →∞すなわち，DA_i → 0とすれば，上式は近似ではなくなりＮは次式で与えられる．
　　

　右辺の極限は面積積分の定義式に他ならないから，結局次の積分で与えられる

　　

式(d)は，垂直応力と軸力の関係を表す厳密な式であるが，このままでは，これを解いてs を求めることはできない．そこで，材料力学では，

　　s は断面上で一定であると仮定する
そうすると上式右辺の積分は次のようになり，
　　
したがって，垂直応力と軸力の関係は
　　
となる．

注）上式の展開は，面積積分の具体的算法を知らなくても，定義の意味を理解していれば，次のように導ける．
すなわち，断面上で応力が一定値 sであるとすれば，s_i = s（ただし，s は定数）とおけるから式(c)は
　　
そして，定義より明らかに
　　

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