曲げモーメント２

荷重，曲げモーメント，せん断力の関係式

分布荷重，せん断力，曲げモーメントの関係．

分布荷重q，せん断力F，曲げモーメントMの間には次の関係が成立する．

なぜならば，図のようにはりをx及びx+dxの位置で仮想切断した微小部分について，z方向力の釣合及びモーメントの釣合を考えれば

となる．

分布荷重からせん断力，曲げモーメントを求める方法（面積モーメント法）

�@逐次積分法
　式(1)より，分布荷重q(x)を逐次積分すれば，せん断力F(x)，曲げモーメントM(x)が得られる．

　ここで，C₁，C₂は積分定数であり，はり両端の境界条件より求まる．

�A面積モーメント法
　また，これらは，次のようにも書ける．

　ただし
　　F₀：左端せん断力（＝左端反力）
　　M₀：左端曲げモーメント

　 式より，W_x は左端からxまでの分布荷重図の面積に等しい．また，W_x･X_gは分布荷重図のxの位置に関する面積モーメントであり，X_gはxからW_xの図心までの距離である
すなわち，
　　
荷重が分布荷重でなく，上図右のような集中荷重や定モーメントの場合，W_xやX_gは
左端からaにある大きさPの集中荷重のときは

左端からaにある大きさmの定モーメントのときは

とすればよく，単純な分布荷重ならば，図形の面積と，図心の位置から，簡単に求まる．

例えば図のように，全荷重Pが２等辺三角形状に分布する単純支持はりの場合は以下のようになる．

対称性より，左右端の反力は

また，両端は単純支持であるので，反モーメントは０．したがって，

である．

　一方，荷重は三角形状分布であり，はり中央までの全荷重，すなわち，中央までの荷重図の面積は

したがって，左端からx(x< l/2)までの荷重図の面積は三角形の相似性より

　

一方xから荷重図の図心までの距離は，三角形の図心の位置より，

　

明らかに，はり中央x=0.5lでせん断力F=0となり，この位置で曲げモーメントは最大

となる．なお，x> l/2での値は，対称性より

，

となる．