はりのたわみ

　　

§たわみ方程式

はりのたわみ，たわみ角と曲げモーメントの関係は次のたわみ方程式で与えられる．

○はりのたわみ方程式

導出］曲げ応力の導出過程で示したように，はりの曲げにおける基本変形量は中立面の曲率半径Rであり，
　　
であった．したがって，Rとたわみw，たわみ角qの関係がわかれば，横荷重を受けるはりの変形が求まる．この関係は，幾何学により，以下のようになる．
先ず，たわみ角はたわみ曲線の接線の傾きであるから
　　
となるが，たわみは，はりの長さに比べて十分小さく，たわみ角も十分小さいので
　　
また，xでのたわみ角をqとすれば，x + dxでのそれはq + dq とおけ，微小部dxは半径Rの円弧の一部dsとなる．そして，中立面上でのx方向の伸びは0であるから，^＊)
　　
とおける．ここで，負号が付くのは，M > 0したがって，R > 0の場合，はりはz方向に凸（下に凸）に曲がり，たわみ角 q はxが増加するにつれて減少するからである＊．
上の2式に曲率半径と曲げモーメントの関係を代入すれば，たわみ方程式が得られる．

　　　　＊ 通常の幾何学ではこの関係はRdq = dxとなり，負号は付かない．これは下図のようにxの増加につれてq すなわち dw / dx も増加する場合を曲率半径R > 0と定義するためであり．この場合は，はりを上に凸に曲げる方向を曲げモーメントM > 0とする必要がある．歴史上はりを下に凸にする場合をM > 0としたのでたわみ角と曲率半径の関係に負号がついている．

　　　　＊中立面上でのx方向の伸びが無視できない場合でも，
　ds=( dx² + dw²)^1/2 = dx(1 + (dw / dx)² )^1/2 = dx ∵(dw / dx)² は高次の微少量
となる．

§たわみ方程式の解法

曲げモーメントがわかれば，式(1)を解き，たわみ角・たわみが得られる．この関係は，分布荷重を与えてせん断力，曲げモーメントを求める場合と同様であり，その解法も大別して，
逐次積分する方法と面積モーメント法がある．

○逐次積分法（計算例）
　　
ここで，C₁，C₂は積分定数であり，はり両端の境界条件より定まり，不定積分をx=0で0となるように選べばC₁は左端のたわみ角，C₂は左端のたわみにそれぞれ一致する．
なお，逐次積分を行う場合，ステップ関数を利用すれば計算の見通しが楽になる．

○面積モーメント法（計算例）
左端から x の位置C点のたわみ角 q_x ，たわみ w_x は次式となる．
　　
ここで
　　q₀ ：左端のたわみ角，w₀ ：左端のたわみ
　　
　　　　　　

○共役はり法（計算例）
長さlの単純支持はりの曲げモーメントをMとするとき，M /EI あるいは M を分布荷重と見なしたはりをこのはりの共役はりと呼び，
　　
となる．

∵共役はりの左端反力R '_Aは，右端回りのモーメント(M /EIを分布荷重と見なしたときの)の釣合より
　　
そして，せん断力・曲げモーメントの求め方によれば，共役はりのせん断力F '_x ，曲げモーメントM '_x は
　　
で与えられる．
一方，式(3')においてx = lとおけば，w₀ = 0，w_x|_x=l = 0であるから，元のはりの左端たわみ角q₀は，
　　
そして，元のはりのたわみ角q_x，たわみw_xは式(2')，(3')より
　　
となり，これらの右辺は共役はりの左端反力R '_A ，せん断力F '_x ，曲げモーメントM '_x を求める式と同じである．

○重ね合わせ法（計算例）
多くの荷重が作用している問題，突き出しはり，不静定問題等は，基本的なはりの解の重ね合わせとして解くと便利な場合が多い．

　例えば，図のように
左端からaの位置に集中荷重Pを受ける長さlのはりのたわみの解を
　　w=Pw(a,x)　　[a]
とすれば，任意関数q(x)で表せる分布荷重を受ける同じはりのたわみは，左端からxの位置にq(x)dx の集中荷重を受けるたわみの重合わせであるから，式[a]のPをq(x)dxとおいて，
　　　
となる．たわみ角はこれをxで微分すればよい．