丸棒のねじり

 図のように,棒が軸線まわりのモーメントを受ける場合をねじりと呼び,棒の横断面は軸線を中心軸として回転する.このように,棒の軸回りのモーメントを,ねじりモーメントあるいはトルク(Torque)と呼ぶ.
 ここでは,簡単のために棒の断面が円形の場合を考える.棒の断面が円形ならば,断面は平面を保ったまま回転するとしてよく,取り扱いが容易である.なお,円形でない場合は断面は歪み平面を保たず,解析は容易ではない.

注)軸線に垂直な軸回りのモーメントが作用する場合は,はりの曲げ問題であり,はりの曲げ理論は円形断面以外でも適用可能であったことに注意せよ.

ねじりを受ける棒の応力と変形,

 丸棒にねじりモーメントが作用すれば,任意断面にはこれと釣り合うために内力のねじりモーメントが発生する.この関係は,下図のように,ねじりモーメントを右ねじが進む方向のベクトルで表示すれば,引張り圧縮の場合と全く同様であるから,外力から内力を求める方法は,単純な棒の引張り圧縮の場合と同じである.すなわち,任意断面で仮想切断し,外力と釣合う仮想切断面上のベクトルを求めればよい.

 

引張圧縮の場合と同様に,上の図の内力は,
  (応力の合力)=(内力)  (0)
となる,応力がこの断面に生じているはずである.この関係を満足するためには,どのような応力が生じなければならないか考える.

@先ず,Tは軸回りのモーメントであるから,応力は断面に垂直ではない.
すなわち,生ずる応力は断面に平行であるから,せん断応力でなければならない.ことは明らかであろう.

次に棒の変形を考える.

 

A棒がねじられるとき,横断面は軸線の回りに回転する.このとき,横断面はゆがむことなく,平面を保ったまま回転すると仮定する.すなわち,断面上の直径CCは変形後も直線を保ち直径C'C'となる.

棒から長さdx,半径r,肉厚drの薄肉円管を切出し,この円管の表面上で最初長方形であったabcdの変形を考える.

B棒横断面の回転角をj とおけば,dx離れた二つの横断面の相対回転角はdj であるから,この長方形abcdは図のようなずり変形を受け,ab'c'dになる.そして,そのときのせん断ひずみ(すなわち∠bab'あるいは∠cdc'g は,弧CC'orbb')より次のように求まる.
 
すなわち,長方形abcdはずり変形を受けそのせん断ひずみは半径rに比例する.この時の比例定数w を比ねじれ角と呼び,これは単位長さ当たりの横断面の回転角である.そして,この比ねじれ角が基本変形量であり,引張圧縮の場合の垂直ひずみに対応する.

Cこのように,微小円管の外表がずり変形を受けるから,フックの法則より,これに対応して丸棒横断面には
 
のせん断応力が生ずることになる.すなわち,横断面には半径rに比例し円周方向(半径に直角方向)のせん断応力が生ずる.

Dそして,t による丸棒軸線回りの合モーメントが内力Tになっているのであるから,内力と応力の関係は次のようである.
  
ここで,IPは断面二次極モーメントであり,Routは丸棒の外半径,ZPはねじりの断面係数である.
すなわち,ねじりによって丸棒横断面に生ずるせん断応力(向きは円周方向)は半径に比例する直線分布となり,その最大値は丸棒外表位置で,ねじりモーメント(内力)をねじりの断面係数で割ったものとなる.

E断面二次極モーメント,ねじりの断面係数
A)
丸棒の外径をD,内径をdとすれば
  
  
 (当然ながら,中実丸棒の場合は n=0
B)
直径D,肉厚hの薄肉円筒の場合は,上式でD=dD-d=2hとおけば
  
 あるいは,次のように求めてもよい.
薄肉円管であるから半径は一定値r=D/2である.そして,断面積はA=pDhである.したがって,
  

注)はりの曲げとは異なり,このように簡単化した理論は丸棒のみに適用される.

 

以上の結果を引張圧縮の場合と比較してまとめれば,下表のようになる.

 

丸棒のねじり

引張り圧縮

荷重

軸線まわりのモーメント
(ねじりモーメント or トルク)

縦荷重
棒の軸方向に加わる力

内力

ねじりモーメント or トルク

軸力(引張圧縮)N

断面定数

 

内力と応力の関係式

せん断応力t は断面上で半径に比例する直線分布

最大値は外表位置に生じ

垂直応力は断面上で一定

変形量

断面の中心軸回りの回転角 j

軸方向変位 u

基本変形量

比ねじれ角(単位長さあたりの横断面の回転角)w

垂直ひずみそのもの e

変形量と基本変形量の関係

ひずみ
基本変形量とひずみの関係

せん断ひずみ g 
g=rw  半径rに比例

垂直ひずみ e 
断面上で一定

基本変形量と内力の関係


G
:横弾性係数,GIp:ねじり剛さ


E
:ヤング率

棒に蓄えられる単位長さ当たりのひずみエネルギ−