エネルギ法

§弾性体に蓄えられる単位体積当たりのひずみエネルギと応力

弾性体内の任意点での垂直応力がs（したがって，垂直ひずみe=s/E）であれば，そこには，単位体積当たり
　　
のひずみエネルギーが蓄えられている．せん断応力t（したがって，せん断ひずみg=t/G）に対しては
　　
材料力学では，断面上での応力分布を仮定するので，棒中に蓄えられる単位長さ当たりのひずみエネルギーは次のようになる．

棒材に蓄えられる単位長さ当たりのひずみエネルギーと内力の関係式

○引張圧縮
　
　N：軸力，A：断面積，E：ヤング率

○曲げ
　
　M：曲げモーメント，I：断面二次モーメント

○ねじり
　
　T：ねじりモーメント，I_p：断面極二次モーメント，G：横弾性係数

導出］

　棒から，軸線に沿った長さD の微小部分を切出し，これに蓄えられるひずみエネルギ−を求める．この微小部の切断面上の微小断面dAにおける垂直応力をsとすれば，sによるこの部分のひずみエネルギーは (s²/2E)×(D dA)であるから，棒の単位長さあたりのひずみエネルギーは
　　
となる．同様に，dAにおけるせん断応力をt とすれば，これによる棒の単位体積あたりのひずみエネルギ−は
　　
となる．
○引張圧縮の場合は，軸力Nと垂直応力の関係はs=N/Aであったから，これを(a)に代入すれば
　　
○はりの曲げの場合は，曲げモーメントMと垂直応力の関係は，中立軸からの距離をzとして，s=Mz/Iであったから，これを(a)に代入すれば
　　
○丸棒のねじりの場合は，ねじりモーメントTとせん断応力の関係が，半径をrとしてt=Tr/I_pであったから，これを(a')に代入して
　　
となる．

§カスチリアノの定理と棒材の変形の計算法

○カスチリアーノの定理
荷重P₁ , P₂ , ･･･ が作用する弾性体のひずみエネルギ−をU(P₁ , P₂ , ･･･)とすれば，荷重P_kの作用点kのP_k方向変位l_kは
　　
で与えられる．
ここで，P_kがモーメントならばl_kはP_kと同じ回転方向の回転角である．
　

○引張圧縮，曲げ，ねじりを受ける棒材への適用．
　荷重P₁ , P₂ , ･･･ が作用する，棒状部材の軸力，曲げモーメントおよびトルクを
　　
とすれば，荷重P_kの作用点kのP_k方向変位l_kは
　　
となる．

○仮想荷重の導入
　変位を求めたい位置や方向に荷重が無い場合は，その位置，方向に大きさ0の仮想荷重を導入すればよい．
すなわち，変位を求めたい位置 x に仮想荷重Fを導入したときの軸力，曲げモーメントおよびトルクを
　　
全ひずみエネルギを U ' とおいて，Fの作用点 x のF方向変位は
　　
で与えられる．
注）式(2)，(2' )では，積分は微分の後で行う（その方が計算は楽）ことに注意せよ．

導出］荷重P₁ , P₂ , ･･･ が作用している弾性体のひずみエネルギ−をU(P₁ , P₂ , ･･･)とすれば，荷重P_kがP_k + dP_kに増加した時のひずみエネルギ−は，微分学により
　　
で与えられる．一方，このひずみエネルギーを最初にdP_kを加えた後P₁ , P₂, ･･･を加えたときのひずみエネルギーとして求めれば，弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは荷重がなした仕事に等しいことより，
　
となる．両者は等しくなければならないから
　　
となり，式(1)が成立する．
　また，棒材の軸力をN，曲げモーメントをM，トルクをTとすれば，棒材の単位長さあたりのひずみエネルギと内力の関係より，この棒内に蓄えられるひずみエネルギは
　　
であるから，この棒のP_kの作用点におけるP_k方向変位は
　　
となる．

例題１］トラスの変位
　　
力の釣合より，部材 1,2 の軸力とその荷重微分は

　　　　
荷重点の垂直方向変位d_Vは，Pの作用方向に一致するから，カスチリアーノの定理より
　　
となり，幾何学的に求めた結果と一致する．
　荷重点の水平方向変位d_Hを知るために，荷重点に水平方向左向きの仮想荷重F=0 を考えるとこのとき各部材の軸力は
　　
そして，
　　
であるから，
　　
となる．

例２］等分布荷重を受ける単純支持はり中央のたわみと、支持端のたわみ角
　　
　中央のたわみを知るために，中央に仮想集中荷重P=0を導入する．このときのはりは，仮想荷重も含めて左右対称であるから，ひずみエネルギーは左半分のものを2倍すれば良いから，
　　
である．そして，x<l/2における曲げモーメントは，
　　
であるから
　　
∴中央のたわみは，
　　

　左端たわみ角を得るために左端に図のような曲げ荷重M₀=0を導入すると，曲げモーメントは，はり全長について次式となる．
　　
そして，
　　
左端たわみ角は，左端のM₀方向の回転角に他ならないから，q_x=0=∂U/∂M₀で与えられる．したがって，

　　
を得る（この場合は仮想荷重M₀ も考慮すれば左右対称とはならないから，左半分の積分を2倍してはいけない）．なお，右端のたわみ角は，問題の対称性より明らかに
　　
である．
　念のために右端のたわみ角も算出するためには，右端に時計回りの仮想モーメントM₁ =0を置けばよい．そうすれば，
　　
であるから，右端たわみ角は
　　

例題