§不静定問題への応用（最小仕事の原理）
カスチリアーノの定理によれば，弾性体のひずみエネルギを荷重で表し，これを荷重で微分すれば，荷重の作用点の荷重方向変位が得られた．下図のような不静定問題にこれを適用すれば，はり左端のたわみは0であるから，この系のひずみエネルギーを左端反力すなわち不静定力Rで微分したものは0となるはずであり，その計算は次のようになる．
このはりの曲げモーメントおよび，それの反力Rによる微分はステップ関数Haを用いて
となり，支点反力Rが求まる．
すなわち，∂U/∂R=0とおくことにより，不静定反力R が求まった．
この例ではRの作用点の変位は明らかに0であるので当然であるが，この関係は不静定力作用点の変位が0でない場合でも成立する．
○荷重P1 , P2 , ･･･ ，不静定力R1 , R2
, ･･･ が作用する弾性体のひずみエネルギ−をU(P1 , P2 ,
･･･, R1
, R1 , ･･･)とすれば，全ての不静定力Rk , k =
1 , 2 , ･･･ について次式が成立する．
この式は，ひずみエネルギUのRkに関する微分が0すなわち，Rk はUを最小にするように決まる事を示しており，最小仕事の原理（自然現象はエネルギーが最小となるようにふるまう）を表している．
∵ 下図のように荷重P1 , P1 , ･･･ が加わっている弾性体を，不静定力Rkが生ずる位置kで仮想切断し，領域1と2に分割すれば，作用反作用により，領域1，2のk点にはそれぞれ作用方向が逆向きの荷重Rkが作用する事になり，領域1，2のk点のRk方向変位
lk1，lk2は領域1，2のひずみエネルギ−をU1，U2とおいて，
で与えられる．そして，これらは同じでなければならないが，Rkの作用方向は領域1，2では逆向きであるから
lk1 = -lk2 が成立する．したがって
例１］図のように先端をばね定数Kのばねで支えられ，途中に集中荷重Pを受ける片持ちはりがある．ばねに加わる反力を求めよ．
解］はりのひずみエネルギーを
UB ばねに蓄えられるひずみエネルギ−を
US と置けば，R は不静定量であるから，
である．ここで，先端からxにおける，はりの曲げモーメント及びそのRに関する微分は
であり，また，US とそのRに関する微分は
であるから
となり，重ね合わせ法による結果と一致する．
注）このように，この例では，ばねに蓄えられるひずみエネルギーをも考慮する必要がある．
○相反定理
弾性体の2カ所，点1，2にそれぞれ荷重P1，P2が単独で加わる場合を考える．このとき
点1に荷重P1が作用するときの点2におけるP2方向変位をl2
点2に荷重P2が作用するときの点1におけるP1方向変位をl1
とすれば，次の関係が成立する
∵点1に荷重P1 のみが作用するときの点1のP1方向変位をl'1，点2に荷重P2 のみが作用するときの点2のP2方向変位をl'2とする．そうすれば，「先ず1に荷重P1を加えた後点2に荷重P2を加えたとき」この弾性体に蓄えられるひずみエネルギ−は，ひずみエネルギ−は荷重が成した仕事に等しいことより，
である．ここで，第１項は最初P1を加えたことによるひずみエネルギ−，第２項は次にP2を加えたときP2が成す仕事によるひずみエネルギ−であり，第３項はこのとき既に点1に加わっている荷重P1が成す仕事によるひずみエネルギーである．荷重を加える順番を逆にして，「最初にP2を加えた後P1 を加えれば」おなじひずみエネルギ−は
とも書けるから，式(4)が成立する．