面積積分について

（注意：元に戻るとき，ブラウザの戻るボタンを使わないように）

�T．積分

　　「積分とは微少量の足し算である」とも言える．例えば，関数f(x)（以下では単にfと表す）の積分
　　
は横軸にxをとり，縦軸にfを取ったとき，直線x＝aとfと直線x＝bとx軸で囲まれた部分の面積を与える．ただし，関数f が負の区間では，面積も負と定義する．
　　

　　　この面積Aは，図のように，x を幅が Dx_i である N 個の微小区間に区分して出来る微少な長方形の面積 f_i Dx_i の総和
　　
で近似でき，N ＝∞ の極限を取れば正しい値
　　
となる．これを積分記号を用いて，
　　
と表す．
すなわち，積分式は，関数fとDx_i との積で与えられる無限小量をxがaからbの全区間について足し合わせた物であり，これをΣ記号の代わりに∫記号 Dx_i の代わりにdx を用いて表したものである．

�U．面積積分

　以上の考え方を平面上で定義された関数に適用し，定義域である平面を底，高さが関数値である立体の体積を求める計算が面積積分である．そして，その記法は積分の場合に準じ，

　　　　関数f は一般には，x 及びy の2変数関数 f ( x , y ) となるが，これも単にf と書き

　　　　底面を面積が DA_i である微少な N 個の区間に分割し

　　f と微小面積 DA_i との積の総和を関数の定義域即ち全面積A について求める計算として，

　　　　
と書く．
　　

　　定義よりf = C ただしC = const ならば，この積分値は底面の面積のC倍であり，C = 1 ならば，面積そのものである．
　　
すなわち，定数は積分記号の外に出して構わなくて，
　　　∵
と書ける．

　　f が関数となる場合には，dA の取り方を種々工夫して計算すればよい．以下に幾つかの例を示しておく．

○二重積分による方法：最も一般的な場合
x の範囲がa 〜 b 底面の境界線が２つの曲線C₁(x) , C₂(x)で囲まれる領域のとき，
　　dA = dx･dy
と求めれば，
　　
yに関する積分にとってxは定数であるからこれを先に行い，その後x について積分を行う．
　　

○関数が１変数以下の場合
f がx のみの関数である場合は図のように底面のy 方向幅をx の関数B(x)と表し，（以下単にBと書く）
　　dA = B･dx
と求めれば
　　
となるから，関数 f ･B の積分に帰着される．

○底面が内半径R₁ 外半径R₂ の同心円形でかつf は半径r の関数の場合
dAを図のような薄肉リングとして求めれば，
　　dA = 2πr dr
であるから
　　
となるから，x･f(x) の積分に帰着される．

例として底が半径R の円で，
　　f (x , y) = 1 , f (x , y) = x , f (x , y) = x²
f (x , y) = r²　ただしr² = x² + y²
の場合について，上の３つの方法で計算してみると良い．答えはそれぞれ
　　
である．

戻　る